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(Fazer multiplicações sem ter de saber a tabuada)
Alguns
matemáticos atribuem aos antigos camponeses russos um processo especial
de multiplicação que vamos aqui explicar. Vamos
então aplicar este método para obter o produto do número 36, pelo número
13. 36´
13=?
Escreve-se
os dois factores, um ao lado do outro, e um pouco afastados:
36
--------- 13
Determina-se
a metade do número à esquerda e o dobro do número à direita,
escrevendo os resultados em baixo dos factores correspondentes:
36
-------- 13
Faz-se
o mesmo aos resultados obtidos (metade do número à esquerda e o dobro
do número à direita)
36
--------13
Mais
uma vez, repete-se a mesma operação, mas aqui chega-se a um número ímpar
(que no caso é 9), deve-se então, subtrair uma unidade a esse número
, tomar a metade do resultado( 9-1 = 8, metade de 8 é 4 ) e assinalar
essa passagem. E assim se continua até que o termo da esquerda seja
igual .
Assim:
36
------ 13
Somam-se
os números da coluna da direita aos quais correspondem números ímpares
na coluna da esquerda. (números marcados com o sinal *.) Essa soma será:
52
+ 416 = 468
Assim
o produto do número 36 por 13 é 468 |
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No ano 830, Mohamed Ben Musa
Alkarismí, um dos sábios mais notáveis do Século IX, fazia uma
subtracções de números inteiros. da seguinte forma:
(Para que possa acompanhar as
operações usaremos aqui algarismos modernos.)
De 12025 vamos tirar 3604.
A operação era iniciada pela
esquerda (operação I). Assim, a 12 tirava 3 e restavam 9; cancelava os
algarismos considerados( 12 e 3) e escrevia o resto obtido em cima do "minuendo".
(Veja abaixo.)
Continuando: a 90 tirava 6 restavam
84.
A diferença obtida (operação II) era
escrita sobre o "minuendo", e os algarismos que formavam os termos de
subtracção eram cancelados.
Por fim, a 8425 tirava 4 e restavam
8421 (operação III).
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O uso do sinal de + (mais) aparece na Aritmética
Comercial de João Widman d´Eger publicada em Leipzig em 1489. Na Grécia
antiga, os gregos indicavam a adição justapondo as parcelas. Os
algebristas italianos usavam a letra P no lugar do sinal de (+). |
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*Tales de Mileto – asfixiado pela multidão
ao sair de um espectáculo. |
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Sturm, quando se referia ao célebre Teorema
por ele descoberto, dizia: "O Teorema, cujo nome eu tenho a honra
de usar". |
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Gerbert, geômetra famoso, foi arcebispo de
Ravena e subiu à Cátedra de São Pedro no ano 999. Considerado um dos
mais sábios do seu tempo, chamou-se Papa Silvestre II. Foi o primeiro a
vulgarizar no Ocidente latino o emprego dos algarismos arábicos.
Faleceu em 1003. |
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Antigos pastores, para controlar seus rebanhos de ovelhas, os associavam à pedras que guardavam em sacolas. Cada ovelha correspondia a uma pedrinha. No início e final do dia faziam as devidas correspondências. Se sobrasse pedra, faltava ovelha. Como pedrinha em latin significa "Calculus", daí a palavra cálculo. |
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806 pode ser decomposto no seguinte produto 806 = 31 x 26; 806 = 62 x 13. Produto do número 37 pelos primeiros múltiplos de 3. 3 x 37 = 111 6 x 37 = 222 9 x 37 = 333 12 x 37 = 444 15 x 37 = 555 18 x 37 = 666 21 x 37 = 777 24 x 37 = 888 27 x 37 = 999 Produto de 3367 pelos primeiros múltiplos de 33. 33 x 3367 = 111111 66 x 3367 = 222222 99 x 3367 = 333333 132 x 3367 = 444444 165 x 3367 = 555555 198 x 3367 = 666666 231 x 3367 = 777777 264 x 3367 = 888888 297 x 3367 = 999999 Se continuasse-mos a multiplicar não obtínhamos a mesma sequência de números mas sim outra que até também é engraçada. 330 x 3367 = 1111110 363 x 3367 = 1222221 396 x 3367 = 1333332 429 x 3367 = 1444443 462 x 3367 = 1555554 495 x 3367 = 1666665 528 x 3367 = 1777776 561 x 3367 = 1888887 594 x 3367 = 1999998 Outro conjunto de operações com algo de curioso: 0 x 9 + 1 = 1 1 x 9 + 2 = 11 12 x 9 + 3 = 111 123 x 9 + 4 = 1111 1234 x 9 + 5 = 11111 12345 x 9 + 6 = 111111 123456 x 9 + 7 = 1111111 1234567 x 9 + 8 = 11111111 12345678 x 9 + 9 = 111111111 Se estiver interessado tente averiguar quais os números que multiplicados por 12345679 faz com que o resultado seja uma sequências de qualquer cifra ( 1 ao 9).
E esta outra pirâmide:
E esta outra:
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Adaptado do livro O Homem Que Calculava, de Malba Tahan.
Afirmam os pacientes calculistas que é possível escrever, com quatro quatros, todos os números naturais de 0 a 100. Vejam alguns exemplos: 0 = 44 - 44 1 = 44 / 44 2 = 4 / 4 + 4 / 4 3 = (4 + 4 + 4) / 4 4 = 4 + [(4 - 4) / 4] 5 = (4.4 + 4) / 4 6 = (4 + 4) / 4 + 4 7 = (44 / 4) - 4 8 = 4 + 4 + 4 - 4 9 = (4 + 4) + 4 / 4 10 = (44 - 4) / 4
12 = (44 + 4) / 4 13 = 4! - (44 / 4) e assim sucessivamente... Por exemplo: 25 = 4! + 44 - 4 , ... 97 = 4! .4 + (4 / 4) ...
Podes apresentar mais soluções? |
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Um número é: divisível por 2 quando o algarismo das unidades for par. divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos algarismos for múltiplo de 3. divisível por 4 quando o número formado pelas seus dois últimos algarismos for múltiplo de 4. divisível por 5 quando o algarismo das unidades for 0 ou 5. divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3. divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos algarismos for múltiplo de 9. divisível por 10 quando o algarismo das unidades for 0. divisível por 11 quando a subtracção da soma dos termos de índice par pela soma dos de termo impar der 0, 11 ou um múltiplo de 11 |
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| Palíndromos podem ser palavras ou números que são iguais quando lidos de frente para trás e de trás para frente. Alguns exercícios de análise combinatória envolvem palíndromos. Aqui, só por curiosidade, mostramos alguns palíndromos. | ||
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Às folhas tantas Milôr Fernandes |
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Em Portugal, os Bilhetes de Identidade possuem um misterioso número extra. Cada número tem sete algarismos, digamos 7310682 mais um número adicional, que normalmente não serve para nada, que neste caso seria o 8. É claro que este número tinha que dar origem a infindáveis conversas de café. Por exemplo, este número é o número de pessoas com o mesmo nome do dono do cartão. O portador do cartão 7310682 tem mais 8 homónimos. Mas será isto verdade? Não, é mentira! O número extra é um algarismo de controlo de erros. Para um número típico: abcdefg h em que h é o algarismo extra é válida a seguinte condição: 8 x a + 7 x b + 6 x c + 5 x d + 4 x e +3 x f + 2 x g + 1 x h = múltiplo de 11. No caso do número 7310682 - 8 teríamos: 8 x 7+ 7 x 3 + 6 x 1 + 5 x 0 + 4 x 6 + 3 x 8 +2 x 2 +1 x 8 = 143.Como 143/11 =13, conclui-se que 143 é múltiplo de 11 e assim sendo, o número do Bilhete de Identidade é válido. Para que é que isto serve? Caso alguém se engane num algarismo do seu número, os serviços poderão recuperar o número correcto sabendo que o resultado terá que ser múltiplo de 11. Por exemplo: 4264167 - 6 tem um algarismo errado porque: 8 x 4 + 7 x 2 + 6 x 6 + 5 x 4 + 4 x 1 + 3 x 6 + 2 x 7 + 1 x 6 = 144; 144/11 =13.09. Devia ser possível recuperar o número correcto, mas não é, porque há muitas hipóteses, mesmo considerando que só um dos algarismos está errado. Por exemplo, se o primeiro algarismo for 8 e não 4 obtém-se: 8 x 8 + 7 x 2 + 6 x 6 + 5 x 4 + 4 x 1 + 3 x 6 + 2 x 7 + 1 x 6 = 176, 176/11 =16 Mas se o quarto número for 9 e não 1 obtém-se: 8 x 4 + 7 x 2 + 6 x 6+5 x 4 + 4 x 9 + 3 x 6 + 2 x 7+1 x 6= 176, 176/11 =16.
Mas o sistema permite
detectar erros e corrigir erros simples, como por exemplo a troca de um
algarismo por um imediatamente acima ou abaixo |
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2003 foi o primeiro ano do século XXI que é um número primo. |
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Outros anos deste século que também são números primos:
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ALÔ BOLA